资产配置的优化过程 Black-Litterman


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资产配置的优化过程就是在一系列约束条件下(主要是风险约束)最大化预期收益,或者在一系列约束条件下(主要是预期收益约束)最小化风险。换句话说,优化资产配置就是要找到一种有效的资产配置结果,在这个配置结果下,特定风险水平对应的可能的预期收益最大,或者特定收益对应的风险水平最低。优化资产配置一般需要用到量化技术[182],并通过计算机程序实现,整个计算过程的原理就是通过迭代方式测算各种资产配置比例,直到找到满足约束条件的最大值或者最小值。微软的Excel规划求解(Microsoft Excel Solver)是比较基础和简单的线性优化工具。如果要应对比较复杂的优化过程,就可能需要用到MATLAB和其他专用软件。如果优化过程比较简单,也可以通过手算方式(试错方式)计算出优化结果。

一、有效前沿(The efficient frontier)
许多有效前沿是由Harry Markowitz在现代投资组合理论(MPT)里提出的。有效前沿通过图形方式展示了风险/收益象限内有效资产配置的分布,一般有效前沿的图形就是一根弧线,弧线的最右端点代表了单只最高风险投资标的,沿着弧线向左移动时,弧线上的点所代表的不再是单一投资标的了,更多投资标的会加进来,这个过程中组合的风险水平也在分散化的作用下下降了。
图12.1是股票资产、债券资产和现金资产组合下的简单有效前沿示例。图12.2在图12.1的基础上又增加了第四类资产,另类投资。从图中可以看到,有效前沿曲线是向上方弯凸的,这意味着由于分散投资的作用,大部分风险水平下我们都可以找到一个能够获得更高预期收益的组合。换句话说,通过在投资组合中加入不同的非完全相关投资标的,我们可以通过分散投资降低风险,并且可以在不增加风险的情况下获取更高收益。
P206图12.1–传统资产(股票、债券和现金)组合后的有效前沿

图12.2–传统资产组合加入另类投资后的有效前沿

达到以下两种效果的资产配置是有效资产配置,一种效果是在特定风险水平(即收益波动率)下获取最高预期收益;另一种是在特定收益水平下做到风险最小。有效前沿以下的所有资产组合都是非有效地,或者是次优的,这是因为我们能在有效前沿上找到同等风险水平下预期收益更高的组合(也就是说有效前沿是占优的)。有效前沿以上的资产组合是不可得的,因为这些组合需要纳入能获得更高收益的资产,而这样的资产在CMAs中不存在。只要投资者给出他们的风险容忍度(可接受风险水平)和目标风险,就能在有效前沿上找出有效的资产组合配置。

如果我们把两只有效资产组合混合起来,得到的混合组合也是有效的[183]。这就是著名的两基金定理(two mutual fund theorem),根据该定理,投资者可以通过混合两只有效资产组合来达到他们期望的有效资产配置,比如,一只有效组合是保守型的,另一只有效组合是激进型的,混合后的组合可能是平衡型的,并且也是有效组合。

有效前沿曲线的斜率表明了每增加一个单位的风险,会增加多少预期收益。斜率的大小取决于组合中的资产以及各自的CMAs,由于CMAs是不停变化的,所以斜率也会随之变化。与斜率较低的有效前沿相比,斜率较高的有效前沿的夏普比率越高,即每增加一单位风险,会增加的预期收益更高。图12.3展现了有效前沿以及相应的夏普比率曲线。有效前沿的左端,斜率较高,所以夏普比率攀升较快,但过了有效前沿的转折点后,斜率降低了,夏普比率也随之下降了,也就是说增加的风险无法得到足够的收益补偿。所以,有效前沿的斜率可以告诉我们承担多少风险合适。在下图中,如果我们承担4%的风险(标准差),那我们就能获得最有效的投资组合以及最高的夏普比率[184]。
P208图12.3–有效前沿,预期收益(左轴)以及夏普比率(右轴)

有效前沿的弯曲程度取决于投资标的之间的相关性。如果相关性为1.00,那么投资组合就不会产生分散效果,有效前沿就会变成一根没有曲率的直线。随着投资标的之间的相关性减弱,甚至出现负相关,有效前沿的曲率会变大。理论上,正常情况下画出来的有效前沿是一根细曲线。但是实际操作过程中,我们会发现,特定风险水平下的有效资产组合不止一个,或者有些组合是非常接近有效的。Richard Gold就优化房地产组合提出了模糊前沿(fuzzy frontier)[185]的概念。由于配置过程不确定,以及数据低质或不可得的影响,有效前沿并非一对一的单一结果,可能是一对多的模糊结果。在给定预期风险和收益的情况下,我们会发现大量的配置比例不同的组合具有相同的吸引力,所以选择一个配置区间(allocation range)比选择单一目标配置比例更符合实际情况。此外,由于有效前沿是高度依赖CMAs的,所以单根有效前沿曲线的准确性也存在问题。如图12.4所示,类似这种粗线型的有效前沿更能代表实际情况中特定风险对应多重优化资产配置的情况,因为那些接近有效前沿的组合在现实环境里都已经是足够有效的了。
P209图12.4–模糊前沿

二、相对收益下的优化

在绝对收益中,我们基于预期收益和标准差来优化夏普比率;在相对收益下,我们用预期相对收益和跟踪误差来优化信息比率(information ratio)。
业绩比较基准是相对收益领域优化的基础,优化的约束条件是相对于业绩比较基准的跟踪误差,优化的目标是最大化信息比率。跟踪误差就是优化过程的风险预算,通过控制跟踪误差,我们能将资产配置锚定到业绩比较基准上,确投资组合不会大幅偏离业绩比较基准的风险和配置比例。
图12.5展示了相对收益下的有效前沿以及对应的信息比率曲线。业绩比较基准是50%的股票,40%的债券以及10%的现金,基准中未加入另类投资。当跟踪误差达到8%时,资产配置中仅剩股票,之后不论再怎么增加风险,超额收益都维持不变。
图12.5–相对收益下的有效前沿,预期收益(左轴)以及信息比率(右轴)

三、同类组合业绩比较基准
如果业绩比较基准是由同类投资组合生成的指数(peer group index),优化过程会更加复杂一些。同类组合指数一般不会完整披露资产配置情况。比如,指数中会显示出对固定收益类资产的配置比例,但是不会披露固定收益资产项下的公司债和国债的明细配置,另类投资也是这样的,指数不会披露另类投资项下对冲基金、私募股权、绝对收益、大宗商品等明细项的具体配置比例。此外,房地产和可转换债券是否归属于另类投资也不确定。
这时,我们就要对同类组合业绩比较基准中的明细资产配置做出合理假设。举个例子,比如我们要估计基准中本土债券资产下国债和公司债的比例,我们可以假设这个比例与两类债券的实际市值比类似,比如国债占60%,公司债占40%。当然了,这只是一种预估方法,不能保证一定与同类组合的实际平均持仓完全一致。

同类组合指数还有一个比较复杂的方面,在于指数供应商一般是按照月度或者季度的频率更新指数中的资产配置比例,但这个频率是跟不上同业持仓的实际资产配置调整速度的。一种解决方案是用被动指数替代同类组合指数中的各类相应资产,这样同类组合指数从一开始就能随着各类资产相应指数每日的波动而波动,P211但这种解决方案也只是对现实情况做了简化替代,因为使用被动指数实际上就屏蔽了主动投资管理的影响(因为同业的投资组合都是主动型组合,而非被动型组合),并且也没有考虑进去同业成员对资产配置比例做的主动调整。尽管如此,这种方案的实际可行性还是很高的。
如果想要更加准确的结果的话,唯一办法是列出体量最大的同业成员,按照月度公开披露的实际数据(比如fact sheets之类)更新持仓,这样资产配置比例就能够按照同类组合的真实收益波动,而非基于被动指数收益。

如果在以同类组合指数为基准的投资组合里使用SAA,明显的一个优势是资产配置是经过优化的,不会随大流。经过SAA优化,投资组合可以在特定风险水平获得最大化预期收益。同类组合的资产配置在一定程度上决定了绝对风险水平,或者说是可接受风险的区间范围,投资组合应该将风险水平控制在这个范围之内,同时配置资产时也要受到同类组合资产配置比例范围的约束(比如对股票资产或外汇资产配置上限的限制)。资产配置的目的是最大化信息比率,根据风险预算流程(risk budgeting process)以及SAA的增值空间,组合经理决定SAA下跟踪误差的大小。

三、效用理论

效用理论的主要作用在于将有效资产配置和投资者的风险偏好匹配起来。理性投资者的特点是偏好“更多”,并且他们是风险厌恶的。举个例子,假设有两个选择,一个选择是获得1000美元,并且没有任何风险,完全确定;另一个选择是有50%的机会获得1500美元,有50%的机会只能拿到500美元(实际上期望收入也是1000美元),理性投资者会选择第一个选项。我们可以使用二次效用函数(quadratic utility function)[186]表达投资者的偏好,即以预期收益减去预期风险的函数来表达预期效用。我们可以用投资指标推导出效用函数的表达式,如下:

其中 $r_p$是预期收益, $\sigma$ 是预期谁演的额标准差, $\lambda$ 是投资者的风险容忍度。

可以看出,效用是预期收益减去风险惩罚,投资者对风险的容忍度越高,越大,风险惩罚就越小。图12.6展示的是同等效用水平下,不同风险容忍度对应的要求回报[187]。随着风险容忍度的下降,要求回报不断上升,这样才能保持投资者感觉到的效用不变。
P212图12.6–同等效用水平下不同风险容忍系数对应的效用方程

效用有多大是取决于预期效用水平的。效用函数的形状(斜率和曲率)由风险收益关系决定。对于理性投资者来说,只要效用不变,究竟落在效用函数曲线的哪个点并无根本差异(所以效用函数曲线也叫无差异曲线,indifference curve),因为对于特定水平的效用来说,风险收益比在整个效用函数曲线上都是恒定不变的(风险越高,投资者要求的回报也越高)。效用函数曲线的斜率由风险厌恶程度决定。风险厌恶程度越高,斜率越大,曲线越陡峭,因为风险规避者每多承担一单位风险都会要求更高的收益补偿。理性投资者会最大化效用,他们会把投资组合置于效用水平最高那个效用函数曲线上。图12.7给出了不同效用水平的效用函数曲线。就同一根曲线来说,投资者并不介意组合的具体位置究竟在哪里,但是投资者总是希望组合能落在最高的那根曲线上。
图12.7–相同风险容忍度、不同效用水平下的效用函数曲线

在通过优化过程得出有效前沿后,凸形效用函数曲线和凹形有效前沿的切点就是投资者的最优资产配置点(如图12.8所示)。有效前沿给出了每个风险水平下可达的最高收益。效用函数曲线给出了特定风险偏好下每一收益水平所对应的的风险。所以两个曲线的切点就是投资者的最佳风险收益点,这个点在满足投资者风险偏好的同时给投资者带来了最大的效用。
P214图12.8–通过效用函数曲线和有效前沿找到有效资产组合

以上就是在有效前沿上寻找有效投资组合的理论过程。不过这个过程实际操作起来难度比较大,最大挑战在于我们没法为每个投资者画出一条效用函数曲线,如何确定λ就是一个大问题。

四、换个方式处理效用函数

我们可以用一种更加实际可行的办法替代效用函数——设置投资目标(当然,这也不容易做到)。通过设置投资目标,可以将投资组合的预估风险水平与投资者的风险偏好匹配起来,或者也可以根据目标收益在有效前沿上找到相应的风险水平。由于我们在估算CMAs的时候是带有误差的,所以我们要确定的并非有效前沿上的一个点,而是一个恰当的区间。找到有效资产组合以后,投资者就能最大化预期收益或者最小化预期风险了。
我们还可以把获得超额收益的概率(在一定投资期限内每年超出目标收益的概率)跟有效前沿联系起来,然后找出概率最大的那个有效资产组合。
图12.9在有效前沿图形上增加了一个概率分布图,这个概率分布图表达的是在5年投资期内每年超越目标收益(5%)的概率[188]。当取预期风险为6.5%时,概率值达到最高点,同时有效前沿上对应的收益完全可以满足目标收益的要求。虽然承担更高的预期风险可以在有效前沿上获取更高预期收益,但是也会降低达成收益P215目标的概率。当风险水平低于4%时,达成收益目标的概率迅速下降(预期收益过低)。这种方法把收益目标、风险目标和投资期限联系起来,帮助投资者设置最可能达成投资目标的额长期投资策略。
图12.9–通过组合有效前沿和达成超额收益的概率分布寻找有效资产配置

五、单一大类资产的优化

有时候我们会在单一大类资产内部做优化,以便生成特定的业绩比较基准。比如,全球发达国家债券就是固定收益类资产项下的一项子资产,这类债券一般包括由发达国家政府,国际机构(比如一些超国家组织,supranationals[189])和发达国家的跨国公司发行的债券,巴克莱全球债券总指数(The Barclays Global Aggregate Bond Index)就是这类债券的表征指数。由于这类资产内部可以细分成很多子资产项,并且这些子资产的CMAs都不一样,可以通过优化技术将这类资产改造成投资者所期望的具有特定风险收益特征的资产组合。
举个例子,多年以来,由于日本的低息环境,日本国债(JGBs,Japanese Government Bonds)一直不受待见,大家对JGBs的前景都不看好,因为收益率实在太低了,P216当利率再无下行空间的时候,一旦利率上涨,债券价格立即会下跌,这样一来JGBs根本无资本利得可言。因此,在做资产配置优化时,会低配JGBs这样的资产,甚至完全不配置,这样就能得到客户想要的定制化的资产配置。定制后的资产组合仍应以标准资产配置(巴克莱全球债券总指数)作为业绩比较基准来衡量业绩表现。

六、投资期限

一般而言,SAA的投资期限是5年至10年。在短期(不到1年),证券的价值决定了大部分投资收益。价值是由供需决定的,供需由经济因素和投资者情绪驱动。P217当经济处于扩张阶段时,公司会增加投资,雇佣更多人,工资水平更高,消费者消费更多,投资者会更加偏好风险资产投资,这样证券价格会上升;而当经济处于收缩阶段时,一切相反。行为金融学认为,证券价格是受投资者情绪,即贪婪与恐惧,投资者心理状态以及行为驱动的。TAA是将投资者短期预期,投资机会以及风险反映在资产配置中的过程。TAA会考虑更多短期因素,这是SAA不考虑的。
CMAs是SAA过程的输入参数,CMAs可以以10年期国债收益率为基础,10年期国债收益率也是预期未来10年收益率的基准。CMAs也可以以股息率,预期盈利增速以及P/E为基础,这些指标在长期(超过5年)的解释力量都很强。CMAs一般描述的是长期的资产平均收益情况,所以不能用于预测短期预期收益。
但是估算资产波动率的过程跟估算CMAs就大相径庭了。ARCH和GARCH[190]模型考虑到了波动聚类效应(volitility clustering)[191],可以用来预测短期波动率。这些模型结果的周期(数据的加权平均时限叫做半衰期,half-life)比CMAs预测的短期波动率时限短得多。
由于估算误差,对相关性进行短期预测是不现实的,短期估算无异于猜算(guesstimate)。TAA是根据经济环境和不确定性水平来预测相关性和波动率的,但是,虽然CMAs的结果可以用于SAA,CMAs的方法不能预测短期波动率和相关性。SAA优化只适用于长期,TAA过程只适用于短期。
由于CMAs的结果是未来10年的平均收益水平,所以我们并无法确知收益随时间的变化过程。比如,如果预期未来10年股票资产的平均年化收益率为8%,可能的情况是前5年股票平均年化收益率不足8%,而后5年股票平均年化收益率大大高于8%,这样整个10年[192]平均下来可以达到8%的水平,所以在某个时间区间SAA的收益水平可能让人不满。尽管如此,SAA能够为资产配置提供基于资产相对价值的客观的系统的评估。

七、优化结果对于假设的敏感性

均值-方差优化结果对于输入参数或者CMAs是非常敏感的,首要敏感因素是预期收益,其次是波动率,最后是相关性。优化结果对于收益假设误差的敏感度比P218方差假设误差大11倍,并且平均来说[193]对于方差假设误差的敏感度是对协方差假设误差的两倍。所以输入变量的误差会对输出结果,即有效资产配置产生实质性影响。
在某些情况下,由于CMAs的差错,优化结果会变得完全没有可行性。比如,高估对冲基金的预期收益,并且/或低谷对冲基金的波动率,同时又/或低估对冲基金与其他资产的相关性的优化结果是将大部分资产全部配置到对冲基金上。此外,优化结果是不会考虑标准差以外的其他风险的,比如流动性风险、信用风险以及投资管理风险。失真的CMAs会导致集中持有风险过高的资产。
可以通过约束优化过程来缓解上述问题。约束的意思就是对各类资产增加配置比例上下限,优化过程可以在约束中寻找最优资产配置。举个例子,投资组合需要持有至少2%的现金资产来应对流动性,但是如果我们不加这个2%的下限的话,优化后的结果里可能根本不会出现现金资产,尤其当要求回报过高且短期利率水平过低的情况下。再比如,我们可以给对冲基金增设配置上限,因为公开数据中对冲基金的收益和风险可能失真,导致CMAs随之失真,最后得出的有效资产配置中会持有过多对冲基金。约束优化的劣势在于约束本身都是主观的,可能使得优化结果变成次优选择而非最优选择。
此外,出于对流动性风险和交易成本的考虑,我们也可以对非流动性资产,比如房地产资产,增设配置比例上限,或者限制当前资产配置比例的变化幅度以降低交易成本。
某些投资标的是没有相应的代表性指数的(私募股票、对冲基金、基础设施以及房地产),所以这类资产的CMAs可能存在较大误差,必要时我们需要对资产配置结果进行调整。优化过程虽然是一个数学模型,但它本质上反映的是投资者决策背后的逻辑和常识。

八、Bootstrapping法

Bootstrapping法[194]是一种可以克服优化过程对CMAs的敏感性的技术。一般而言,我们会通过单一样本计算一项统计指标,而Bootstrapping法可以计算出同一项统计指标的多个不同版本。比如,计算两类资产相关系数的主要障碍是相关系数与计算过程所在时间P219区间高度相关,我们只能用一段样本区间内n个月的月度收益计算得到一个相关系数,但我们无法得知相关系数是如何随着时间变化而变化的。与直接使用单一样本区间不同的是,Bootstrapping法会在N个可得月度历史收益(整个样本空间)中随机抽取n个月度收益形成一个新样本,但单个收益率最多只能被抽取t次,在重复抽取t次后,Bootstrapping法就从历史收益序列中构造出了大量的样本序列,然后用每个样本序列计算相关系数,这样最终得出对相关系数的分布估计。这种方法的理念就是在可得历史数据中生成不同版本的相关系数。通过Bootstrapping法,CMAs不再是基于单期数据的结果,优化结果对CMAs的敏感度降低了,优化过程就变得更稳健(鲁棒优化,robust optimisation)。Bootstrapping法的每一次迭代都会生成一组新的CMAs,并相应生成一个新的有效前沿。基于所有有效前沿数据,我们可以得到平均有效前沿。这个有效前沿结果是非常稳健的,对于相关系数所在时间的敏感性大大降低了。Bootstrapping法计算相关系数的过程也可以用于计算波动率。
图12.10展示了1970年以来美国股票和美国10年期债券的滚动10年相关系数分布。整个时间区间内,相关系数是0.11。但是,从下图我们可以看到,60%的相关系数落在了0.25至0.40区间,所以相关系数取0.3可能会更准确些。虽然我们没用Bootstrapping法,但是也能看出充分利用整个历史区间内数据的分布要比单独使用一个时间区间得出的结果好很多。
图12.10–美国股票和美国10年期债券的滚动10年相关系数分布
(1970年1月至2012年6月)

数据来源:Global Financial Data, S&P; 500, US 10-year Government Bond Total Return

九、重复抽样优化(Resampled optimisation)

重抽样均值-方差优化(Resampled mean-variance optimisation)将传统优化法与蒙特卡洛模拟(Monte Carlo simulation)结合起来,以便解决CMAs的不确定性[195]。通过蒙特卡洛模拟重抽样,可以得出用于均值-方差优化的CMAs,最后再构造出重抽样有效前沿(resampled efficient frontier)。重抽样的步骤如下:

  1. 估算CMAs(收益,标准差和相关系数)
  2. 通过多变量模拟得出CMAs和有效前沿数据
  3. 在特定标准差步长(1%,2%,3%等等)下,记录每单位标准差对应的有效前沿资产配置比例和收益率
  4. 将步骤2至步骤3重复1000次
  5. 在特定标准差步长下,计算每单位标准差对应的有I型奥前沿平均资产配置比例和平均收益率
    步骤5的结果就是重抽样有效前沿。这种方法的缺陷在于步骤4得到的所有资产配置比例都遗传了步骤1关于CMAs估算的误差,并且这种方法缺乏理论基础,即我们无法证明重抽样后的资产配置是最优资产配置。重抽样得出的结果可能变成了相对于业绩比较基准的一种主动风险。

十、基于历史表现的优化

虽然在基于未来的资产配置方法方面有诸多质疑,我们可以用历史数据在历史不同时段内做优化,这样我们就可以研究投资组合中资产配置的效应。通过使用历史收益率、波动率和相关系数,投资者可以按照不同比例组合资产,看看资产配置比例对投资组合业绩的影响。

十一、跨期优化(multi-period optimisation)

SAA的投资期间很长,但一些投资者或者投资组合做不到这么长的投资期限,要验证SAA的有效性,我们至少需要5年时间,有些投资者甚至没有足够时间来验证SAA的效果。
均值-方差优化的一个主要缺陷在于优化模型是一个单期模型。投资者在单一投资期限内优化资产配置并且在整个时期内保持配置不变,但这个单一投资期限可能非常长,投资者无法在单一投资期限内根据市场发展变化调整资产配置策略。P221跨期优化可以解决上述问题,即动态SAA(dynamic SAA)。动态SAA中,我们需要根据当前市场情况更新CMAs,并据此定期做优化。

十二、动态CMAs和当前市场环境

CMAs必须与当前市场环境关联。如果我们通过10年期国债收益率,基于通胀挂钩债券的均衡通胀率得出的通胀预期,股息率,P/E以及盈利增速预期得出了CMAs,这样的CMAs就能够反映当前经济环境,市场预期以及市场参与者的观点,这些统统通过证券价格表现出来(比如,通过当前证券价格可以判断所处经济周期阶段以及市场预期)。
举个例子,在经济周期的底部阶段,股票价格非常低,所以股息率相对较高,而P/E比较低,这样一来市场对股票资产的预期收益率就比较高,在这个阶段,国债价格较高,短期利率和债券收益率都比较低,所以债券和现金资产的预期收益率也比较低[196],而在经济周期顶部阶段,一切都会相反,即股票预期收益率较低,而债券和现金资产的预期收益率较高。动态SAA过程的本质实际上是均值回归(mean reversion)。当股票价格加高时,动态SAA会降低股票资产的配置,当股票价格较低时,动态SAA会增加股票资产的配置。总体来说,动态SAA会在高价区域卖出股票,在低价区域买入股票。而买低卖高是主动投资管理的根本原则。


十三、布莱克-林特曼林特曼模型(Black-Litterman)

布莱克-林特曼模型由高盛的Fischer Black和Robert Litterman于1990年开发出来,并于1992年[197]发布。这个模型的主要目的是克服MPT的一些缺陷,即由于对输入变量高度敏感以及CMAs估算中的误差,均值-方差优化过程会生成有悖常识、持仓过于集中的投资组合。该模型使用贝叶斯方法[198],将由CAPM给出的先验[199]概率下的市场均衡预期收益与投资者关于资产预期收益的主观观点结合起来。
由此得出后验概率下的预期收益(即市场预期收益加上投资者观点),然后将收益结果用于均值-方差优化过程以得出更加稳健的优化资产配置。换句话说,这个模型就是将预期收益的公开市场数据与投资者个人观点糅合起来。如果投资者没有个人观点,那么模型只会使用公开市场数据,但即使投资者只是对子资产(subset of asset classes)有个人观点,模型也会将这些个人观点糅合进全部资产的公开数据中。

(一)均衡状态

长期来看,财富增长以及投资组合收益的源头都是经济增长。在均衡状态下,所有投资者都应该持有能够追踪经济增长的投资组合,投资组合所持资产的配置比例应该等于这些资产的市值比例,也就是预期未来经济生产力。均衡收益率就是能够让市场出清的收益率。在均衡状态下,投资标的的价格等于其公允价值,供给方的预期收益率等于需求方的要求回报率,卖方出价买方接受,价格等于价值。
投资标的的当前价格决定了未来收益(当前价格低未来收益高,反之则反之)。所有按照均衡市场投资组合比例持有的投资组合都会受到所承担风险的补偿,或者获得相应风险溢价。基于此,CAPM的市场投资组合时一只涵盖所有可投资资产的市值加权组合。

(二)最优投资组合

当边际投资引致的预期超额收益(超出无风险收益率的部分)变化与组合风险变化的比值不变时,这样的投资组合就是最优投资组合。换句话说,在最优组合中,当我们增加预期收益较高资产的头寸,降低预期收益较低资产的头寸时,投资组合的风险也相应增加了,而变化前后投资组合的风险调整后收益却保持不变,所以调整资产配置之前的那个组合已经达到最优了。

如果一个投资组合时次优组合,那么我们可以降低风险调整后收益较低资产的比重,增加收益较高资产的比重,同时为了保持风险水平不变,增加现金资产的比重,这样就能在不增加风险的情况下增加组合的预期收益,也就是说调整资产配置之前的那个组合还不是最优组合。
每只投资组合都应该设有风险预算(比如标准差或跟踪误差的上限)。每一次投资决策前,我们都要考虑决策对投资组合预期收益的影响,以及对组合风险的边际影响。比如,增仓股票并减仓债券的决策很可能同时增加组合的预期收益和风险,如果原组合资产配置是有效的,那么上述调整是不会引发组合风险调整后收益的变化的。

单只投资标的对投资组合的边际风险贡献(MCR,marginal contribution to risk)[200]取决于该标的与组合中其他所有标的的协方差,以及各标的的配置情况。我们可以通过各标的的权重、波动率和相关系数计算单只标的对投资组合的边际风险贡献。

P224如果投资组合是最优的,那么组合中单只投资标的的隐含预期超额收益应该与其对投资组合的边际风险贡献成正比。这个命题是真的,因为最优投资组合中,单只投资标的的预期超额收益与其边际风险贡献的比值是相等的。

隐含收益(implied returns)是指可能生成最优投资组合的各投资标的的预期收益。在有效投资组合中,各投资标的的收益风险比与他们相对于投资组合的β值成正比。我们也可以通过有效投资组合反求各投资标的的预期收益(reverse engineer),这个过程叫“逆向优化”(reverse optimisation)。如果投资组合是最优的,我们就可以算出组合中投资标的的隐含收益,这种隐含收益又可以通过均值-方差优化过程得出最优组合的资产配置权重(隐含收益可以用于CMAs)。

如果所得隐含收益与预期收益一致,那么投资组合就是最优组合,反之则不是最优组合。如果投资标的的预期收益高于其隐含收益的,我们可以增加其配置比重以增加投资组合的预期收益。

(二)布莱克-林特曼模型的原理

投资组合的收益有三个来源,一是真实的无风险收益,二是市场风险溢价(β),三是组合经理主动管理收益(alpha)。投资组合的风险也有三个来源,利率风险(利率风险一般来源于组合的负债项,可以对冲。因此该风险无法得到市场补偿),市场风险(β风险,可以得到市场补偿)以及主动管理风险(基于组合经理投资管理能力的风险,与其他两类风险不相关)。

CAPM(均衡模型)认为市场是有效的,所有投资者都在特定风险约束下最大化预期收益。所以,单只投资标的的预期超额收益(均衡风险溢价)与其β成正比,β衡量了单只投资标的比重变化对市场组合风险的边际影响。所以,β成为了布莱克-林特曼模型中的风险指标。
现实生活中,市场并非永远处于均衡状态,存在获取alpha的机会。当投资者发现并捕捉这种投资机会时,市场价格将被推至均衡状态。比如,当投资标的的价格低于预期均衡价格时,投资者的买入需求会将价格推高至均衡价格。均衡理论框架帮助投资者识别投资机会,计算与所承担风险相应的要求回报。

(三)基于公开数据的隐含收益

布莱克-林特曼模型(以下简称“BL”模型)从市场投资组合着手,市场投资组合涵盖了所有资产,按照各资产的市值比重加权[201]。BL模型通过市场投资组合反算资产的隐含收益率,而这个隐含收益率就是CAPM模型给出的各类资产相对于现金收益的均衡预期超额收益。接下来,BL模型市场投资组合中每类资产的预期收益。这种逆向优化方法由William Sharpe[202]在其关于CAPM模型的论文中提出。

根据Sharpe的论述[203],主要资产的当前市场价格能够反映市场对投资收益的预测,因为资产的当前市场价格是市场参与者对未来前景概率分布的汇总。根据半强式有效市场假设,市场吸收了所有公开信息,这些信息都已经反映到进了证券的定价过程。这些是传统CAPM和均衡收益存在的理论基础。资本市场给出了对未来前景[204]的无偏估计,或者说也给出了偏离无偏估计[205]的理由。

由于市场囊括了所有参与者的观点(一致观点),那些没有个人观点的投资者应该对市场驱动的收益抱持足够的信心,这种情况下,最好的策略是构建基于这类收益的投资组合(默认组合,default portfolio),并且以被动化方式管理。

(四)个人观点

BL模型提供了一个基于投资者个人观点调整默认组合的量化框架。用于表述投资者个人观点的方式包括对某类资产的预期收益(与隐含收益不同),或者是对某类资产跑赢另一类资产的收益预期。模型不但量化了投资者的个人预期,同时还量化了投资者对自己预期所抱持的信心。一旦将均衡收益和个人观点结合到一起,我们就能够将新的预期收益输入均值-方差优化过程。这种方法实际上是更新了由既有数据得到的先验概率,并依此生了预期收益的后验概率分布。

###(五)模型的优势与缺陷
BL模型的优势在于它提供了一个确定资产预期收益的框架,BL模型推导出的预期收益具是稳健一致的;此外BL模型纳入了投资者的个人观点和置信度;BL模型的优化结果避免了MPT自带的很多问题。
P226BL模型以市值加权的市场投资组合作为切入点,通过逆向优化过程统一计算各类资产的预期收益,这样投资者就不需要单独计算各类资产的预期收益了。这种方法的假设前提是有效市场驱动市场投资组合处于均衡状态,如此可以反算各类资产的均衡收益。如果受到市场非理性因素,市场投资组合偏离均衡状态的话,投资者也可以根据当前计算所得预期收益与均衡收益的差距来识别投资机会。举个例子,当股票市场出现非理性泡沫并且偏离均衡状态时,股票市值将被推高,股票的预期收益率降低,优化投资组合中股票的配置比例也将降低。

BL模型的缺陷有两方面,一方面源自其对CAPM的高度依赖,即遗传了CAPM的缺陷;另一方面是必须构建一个纳入所有资产的市场投资组合,而全球市场中某些资产的市值是很难量化的(比如地产、对冲基金、私募股权以及基础设施),某些资产的市值是零(比如大宗商品期货),而国债的市值可能被人为抬高了,因为政府通过法律法规要求机构投资者吃哟国债。
尽管有如上缺陷,BL模型仍然可以作为备检项,与其他方法一起使用。有不少软件中都自带BL模型,投资者需要做的是整理不同资产的相关数据,了解模型的原理及其输出结果的意义,至少BL模型的结果是可以帮助投资者估算CMAs的。


#2

Black-Litterman资产配置模型实证

B-L模型简介
B-L模型全称Black-Litterman模型,由Fisher Black和Robert Litterman在1992年首先提出,是基于金融行业对马可威茨(Markowitz)模型数十年研究和应用基础上的优化。

B-L 模型在均衡收益基础上,通过引入投资者观点修正了期望收益,使得Markowitz组合优化中的期望收益更为合理,而且还将投资者观点融入进模型,在一定程度上是对Markowitz组合优化理论的改进。

B-L模型核心思想及说明
核心思想
使用贝叶斯方法将投资者的主观观点和市场均衡收益率(先验信息)相结合,从而形成一个资产预期收益率的估计值(后验收益率),这个新形成的收益率向量被看成投资者观点和市场均衡收益率的复杂的加权平均。

市场均衡收益是以市场中性为出发点来估计资产的超额收益率。如果投资者没有特别的观点,那么就可以用这些市场均衡收益率作为资产收益率的估计值;如果投资者对某些资产有特别的观点,那么就可以根据观点的信心水平来调整市场均衡收益率,从而来影响最终的投资组合配置。

图1. 基于B-L模型的资产组合优化框架

具体说明
1、B-L模型先验分布
将资产组合的真实超额收益率表示为列向量r,服从均值为μ、协方差矩阵为Σ的正态分布,即:r~N(μ,Σ )。

B-L模型从市场投资组合着手,市场投资组合覆盖了所有资产,取各个资产的市值权重作为组合权重,通过逆向优化反推各个资产的隐含收益率,即基于市场均衡状态的预期超额收益率,作为资产预期收益率的一种合理估计。这里,B-L模型假设了期望收益率μ本身为一个正态分布的随机变量,即:μ~N(Π,τΣ ),可表示为:μ=Π+ϵ^e,其中,ϵ^e~N(0,τΣ )。Π即为在市场均衡状态的各个资产超额收益率向量,参数τ表征模型取市场均衡状态资产预期收益率作为资产收益率估计的确性程度。此时,Π=δΣwmkt,其中,wmkt为资产市值权重,δ=((E(rp )-rf )) ⁄ (σp^2 )为市场投资者风险厌恶系数。

2、B-L模型资产观点分布
资产观点表达通过矩阵P、Q和Ω实现。
矩阵P的每一行对应一个观点,反映了该观点涉及到的相关资产以及观点的展现形式,包括绝对观点和相对观点两种表达方式。对于绝对观点,要求该行的加和为1;对于相对观点,要求该行的加和为0。

向量Q与矩阵P对应,反映了每个观点表达的资产收益率高低。对于绝对观点,对应元素指定了观点涉及资产的期望收益率;对于相对观点,对应元素指定了观点涉及的多个资产相对表现的期望收益率差值。

矩阵Ω对应于由矩阵P和向量Q联合构建的资产观点的不确定性。即矩阵Ω的对角元素表示对应于主观期望收益率的期望方差,其非对角元素表示不同期望收益率之间的期望协方差。

Pμ=Q+ϵ^v,其中ϵ^v~N(0,Ω)

在上述基础上,为了进一步增加B-L模型的完备性,投资者还允许指定其对每个资产主观观点的置信度,形成置信度向量C,与向量Q对应。结合每个主观观点的置信度,对主观期望收益率的期望方差矩阵Ω更新如下:

3、B-L模型后验分布
通过融合市场均衡先验分布和观点分布,可求得期望收益率的后验分布,即B-L模型的Master Formula。B-L模型假设期望收益率μ为正态分布的随机变量,即

4、B-L模型资产配置
B-L模型本身保证了先验分布的不确定性与其对后验分布均值的影响呈反向关系。

例如,若资产观点组合分布的不确定性增加,则后验分布的均值将更靠近市场均衡期望收益率,而远离资产观点组合指定的期望收益率;反之,若市场均衡先验分布的不确定性增加,则后验分布的均值将更加靠近资产观点组合指定的期望收益率,而远离市场均衡期望收益率。采用B-L模型做资产配置,期望超额收益率向量的计算如下:

在B-L模型框架下,期望收益率本身也被假设为随机变量,因此协方差矩阵M仅仅与期望收益率μ拔有关,即与资产未来收益率的期望有关。采用B-L模型做资产配置,估计收益率序列的后验协方差矩阵,不仅要考虑到基于历史收益率序列的协方差矩阵的先验估计,同时也要考虑到期望收益率本身的不确定性,即

5、利用B-L模型资产配置举例
假设解决8类资产的优化配置问题。取定市场投资者的风险厌恶系数δ=3.07,市场均衡收益率的风险系数τ=0.025,并假定无风险资产的收益率rf=0.0%。
根据各类资产的历史收益率,可计算各类资产收益率的协方差矩阵如下:

假定已经得到8类资产市值规模数据,对应各类资产的市值权重wmkt如下:

通过求解无约束条件的Markowitz均值-方差优化过程,当资产组合权重取为市值权重时,进行逆向优化,求得市场均衡的资产预期超额收益率Π如下:

假设投资者根据资产市场分析,具有如下资产表现观点:
观点1:资产7的预期超额收益率为5.25%(观点具有置信度25%);
观点2:资产2的预期超额收益率比资产1高0.25%(观点具有置信度50%);
观点3:资产组合A:80%资产3+20%资产5,资产组合B:60%资产4+40%资产6,主观判断资产组合A的预期超额收益率比资产组合B高2.0%(观点具有置信度65%)。
分析上述资产观点,观点1是一个绝对观点,仅涉及到一支资产;观点2和观点3都是相对观点,观点2涉及到2支资产预期超额收益率表现的比较,而观点3涉及2个资产组合、共4支资产的预期超额收益率表现的比较。对应的资产主观观点的关联矩阵P如下:

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#3

受益匪浅


#4

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